ρ En menant BF paral­ lèle à DE on le décompose en deux surfaces dont nous sa­ vons trouver le moment d'inertie : on aura donc • h=bj + (B-b)^=^{B + 3b): *91. = ) 72) le trapèze donné dont h est la hau­ teur, B la grande base, b la petite. par rapport à un axe quelconque dont la direction est donnée par le vecteur unitaire 3 I {\displaystyle M_{i}} ( A2 + B2) Sphère pleine J = 2 5. 488 Pages. De même, l'énergie cinétique propre s'écrit: I {\displaystyle E={\frac {1}{2}}J_{\Delta }.\omega ^{2}} i il est possible de remarquer que la composante = est effectivement un tenseur. → = i Δ ⋅ Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse. ∗ ( R2 + L2 3) Parallélépipède rectangle J = 1 12. Dimensions mm. = M est le polynôme de Legendre d'ordre k. Comme r>>ri il est possible de se limiter aux 3 premier termes, ce qui donne : ce qui compte tenu de En général un solide quelconque possède trois moments principaux d'inertie différents, il est appelé toupie asymétrique[11]. 3 ( {\displaystyle \,} soit diagonale[10]: de tels axes sont dits axes principaux d'inertie. {\displaystyle \rho } i {\displaystyle R_{1}} h {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} . est également diagonale, il vient pour les composantes de ce dernier l'expression : The rotor thus has both an excellent cooling system and a small moment of inertia. T . {\displaystyle \cos \theta _{i}={\frac {{\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}}{rr_{i}}}} n = {\displaystyle \Delta '} I → 1 donc : ou, comme la masse de la boule est {\displaystyle \sum _{i}m_{i}=M} Toutefois, la définition précédente peut s'étendre à un système déformable, dès lors qu'il ne présente pas de rotation différentielle, ou que l'on peut négliger l'effet de celle-ci, de façon qu'il soit possible de considérer que tous les points du système ont à un instant donné la même vitesse angulaire. Δ 1 Rayons de giration. {\displaystyle \rho } I On utilisera les coordonnées polaires pour simplifier les calculs. Toutefois, la définition précédente peut s'étendre à un système déformable, dès lors qu'il ne présente pas de rotation différentielle, ou que l'on peut négliger l'effet de celle-ci, de façon à ce qu'il soit possible de considérer que tous les points du système ont à un instant donné la même vitesse angulaire. d ∗ Profils. {\displaystyle d} O Cependant, la forme rectangulaire est très courante pour les sections de poutre, il vaut donc probablement la peine de mémoriser. ⋅ R2 Cylindre plein transverse J = 1 4. r i I ¯ Ixx=∫y2dA moment d’inertie suivant l’axe XX en cm^4 Iyy=∫x2dA moment d’inertie suivant l’axe YY en cm^4 Changement d’axe (avec axes parallèles) : IYY=IG+Sd2; le moment d’inertie d’une surface par rapport à un axe quelconque est égal au moment d’inertie de cette surface par un axe ∑ Comme indiqué précédemment, il découle de la définition du moment d'inertie que plus les masses constituant un solide sont réparties loin de l'axe de rotation, plus son moment d'inertie par rapport à cet axe est important. s'écrit: Il est possible d'exprimer par exemple la composante suivant x en coordonnées cartésiennes, ce qui donne : Dans cette expression, les facteurs entre parenthèses représentent respectivement le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Ox, noté = i β Il s'agit d'une toupie « aplatie aux pôles », donc la matière est « plus éloigné » de l'axe. x m Le moment d'inertie des autres formes est souvent indiqué au recto / verso des manuels ou dans ce guide de moment d'inertie des formes. M i R 141 EXEMPLE 8.2: Calculer le moment d'inertie du rectangle ci-dessous par rapport à l'axe z passant par sa base. {\displaystyle h} Ce tenseur est évidemment symétrique. Par suite, deux des moments principaux d'inertie sont égaux et le tenseur d'inertie prend dans cette base la forme suivante: Le potentiel de gravitation créé par une distribution quelconque de points matériels {\displaystyle {\vec {r}}_{i}} s'écrit : Il est possible d'exprimer par exemple la composante suivant x en coordonnées cartésiennes, ce qui donne : Dans cette expression, les facteurs entre parenthèses représentent respectivement le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Ox, noté Un élément de symétrie (point, axe, plan) matérielle est non seulement un élément par rapport auquel le solide est géométriquement symétrique, mais aussi pour lequel sa masse volumique présente la même symétrie. 5.2.3 Formulaire d’une poutre bi-encastrée. r Leurs valeurs dépendent de la forme géométrique du solide et de la distribution de la masse en son sein, donc de l'expression que prend sa masse volumique x et ainsi G1 coïncide avec G. Le point G est dès lors défini sans ambiguïté; on l’appelle “centre de masse ”, ou encore “centre d’inertie”, ou “barycentre”. est donné par : en posant La grandeur qui prend en compte cette rigidité est le moment d’inertie Iz (ou moment quadratique) de la section par rapport à l’axe de flexion de la poutre. a {\displaystyle I_{xz}} Section cm². = Il découle des relations précédentes que dans le cas général le moment cinétique propre du système n'est pas colinéaire à l'axe instantané de rotation, les relations précédentes généralisant celles obtenues dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe[7]. , ce qui permet de mettre également en évidence une grandeur ne dépendant que de la géométrie des masses du solide, et généralisant la notion précédente, qui ne se réduit cependant plus à une grandeur scalaire mais sera représenté par un tenseur, le tenseur d'inertie (appelé aussi opérateur ou matrice d'inertie). L → authors in Wikipedia, This website uses tracking mechanisms by using technically not necessary cookies in order to offer and constantly improve its services, and to provide individual offers. r I de masses α d → Poids kg/m. d'un solide de vecteur rotation instantané {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} Définition Jmd md mdou r … , et de hauteur n r ρ L’animation suivante est un simple formulaire permettant de se remémorer rapidement les moments d’inertie des volumes élémentaires. I θ ne se ramène pas en général à la forme obtenu dans le cas d'une distribution de masse à symétrie sphérique. ∗ 72) le trapèze donné dont h est la hau­ teur, B la grande base, b la petite. 1 I I le potentiel. → Une planète comme la Terre se comporte comme une toupie symétrique pour laquelle . i ¯ ne se ramène pas en général à la forme obtenue dans le cas d'une distribution de masse à symétrie sphérique. {\displaystyle L_{x}} exprime une masse volumique (masse par unité de volume). est le moment quadrupolaire de la distribution de masse : Les axes principaux d'inertie, pour lesquels la matrice représentant Et là, silence dans la salle…. z De façon générale à grande distance d'une distribution de masse le potentiel créé peut se mettre sous la forme d'un développement multipolaire : chaque point matériel constituant la distribution (de masse totale et de petit côté M {\displaystyle P_{k}(z)} → ¯ ρ {\displaystyle \delta _{ij}} En calculant comme précédemment le moment d'inertie, on retrouve la relation établie par Christian Huygens connue sous le nom de théorème de transport[19] ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner ou théorème des axes parallèles qui donne le moment d'inertie Sa valeur dépend de la géométrie de la distribution de masse par rapport à l'axe de rotation. 2.2.5 Produit d’inertie 20 2.2.6 Moment polaire 21 2.2.7 Axes principaux d’inertie 21 ... 5.2.2 Formulaire d’une poutre simplement appuyée d’un côté et encastrée de l’autre. et de hauteur et Δ exprime une masse surfacique (masse par unité de surface). → {\displaystyle \phi _{i}({\vec {r}})} Q {\displaystyle {\bar {\bar {I}}}} {\displaystyle \sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}} , la vitesse de rotation ω n'est pas exprimée en s-1, mais en rad⋅s-1. 3 {\displaystyle L} I ′ ). , On peut donc écrire : En désignant par I M . ρ Comme la composante axiale du moment cinétique est égale au moment d'inertie multiplié par sa vitesse angulaire de rotation, et du fait de son caractère conservatif, si le moment d'inertie d'un système diminue du fait d'une variation de sa géométrie interne, sa vitesse angulaire de rotation doit augmenter (et inversement). ρ E i Le formulaire de calcul ci-dessous vous permet de calculer le moment d’inertie de quelques formes de révolutions … Par extension dans un solide considéré comme un ensemble continu de points matériels 87. , le moment d'inertie selon l'axe du cylindre est : Pour un cône (plein) dont la base a un rayon Pour un solide homogène ρ est constante, et les moments principaux d'inertie ne dépendent alors que de la forme géométrique du solide. ¯ I exprime une masse surfacique (masse par unité de surface) pour une surface homogène, elle ne dépend donc pas de x et y. Remarquons que si Dans le cas où la distribution de masse est à symétrie sphérique tous les moments principaux d'inertie sont égaux, et alors = J r k z En effet, en adoptant la notation , , Δ {\displaystyle m_{i}} ≠ i m L La grandeur qui prend en compte cette rigidité est le moment d’inertie Iz (ou moment quadratique) de la section par rapport à l’axe de flexion de la poutre. There is a list of all = = ¯ ¯ Plaque rectangulaire (a,b) de masse m Parallélépipède rectangle (a,b,c) de masse Cerceau de masse m de rayon r : Disque de masse m de rayon r : Enveloppe cylindrique de masse m, rayon r, … Si deux moments principaux d'inertie sont égaux, par exemple 3 - Cas courants de IGz et I0. = ¯ Modules de résistance. Dans le cas d'un mouvement de translation, l'énergie cinétique d'un point de masse m est donnée par la formule E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}} . 94 ρ ¯ Le webmaster décline toute responsabilité quand … {\displaystyle E_{c}^{*}} ¯ . . {\displaystyle h} {\displaystyle I={\vec {n}}\cdot ({\bar {\bar {I}}}{\vec {n}})} de ¯ par rapport à un axe quelconque dont la direction est donnée par le vecteur unitaire ∗