Le rang de f (noté rg(f )) est la dimension de Im(f ). Exercice 12 : [corrigé] Soit E un Kespace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f2−3f +2Id E= 0L( ). 2. Démontrer que h est une application linéaire. Exo7. application. 3. Montrer que p + p est un projecteur si et seulement si p p = p p = Soient p, q ∈ L( E). Déterminer Ker u, Ker(u − Id) et Ker(u + Id). M 4;1(R) dé nie par f 0 @ x y z 1 A= 0 B B @ y x z x 2z x 3y 2x+y +z 1 C C A. 2. Une base etant une famille libre et g en eratrice et une application bijective etant injective et Afin de respecter le contour des programmes de mathématiques des deux premières années d’enseignement supérieur scientifique, le cadre retenu sera celui des espaces vectoriels sur un corps (ce contexte pourrait être élargi à celui des modules sur un anneau commutatif). Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéairelorsqu’elle “préserve la structure vectorielle”, au sens suivant : 1. l’image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des image… Rigoureusement il faudrait procéder par récurrence (et pas que pour la valeur en $0$... mais passons). On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y). Montrer que f est un automorphisme (i.e. 2.7. Soit f un endomorphisme de E tel que f3 6= 0 et f4 = 0 (on dit que f est nilpotent d'ordre 4.) Indication pourl’exercice2 N Prendre une combinaison linéaire nulle et l’évaluer par fn 1. f est bijective). Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f: Indication H Correction H Vidéo [000976] 3. 1. THEOREME (de Banach-Steinhaus) On suppose que F esttonnelé.Si(T k) k∈N est une suite de L(F,G) telle que, pour tout ϕ∈F , Tϕ:= lim k T kϕ existe dans G , alors T : F −→ G est une application linéaire continue et (T k) k∈N converge vers T dans L s (F,G) . Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + idE , où idE est l’application identité. ). Soit u un endomorphisme de E, – on dit que u est un projecteur si u u = u, – on dit que u est involutif si u u = idE . Déterminer son noyau et son image. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L K (E,F) (ou L(E,F) s'il n'y a pas d'ambiguité sur le corps K). Bonus (à 6'15'') : Homthétie et famille libre. 2. Alors l’image de f est un sous-espace vectoriel de F ; si le syst`eme de vecteurs (c 1,...,c n) engendre E (en particulier si c’est une base de E), alors l’image de f est engendr´ee par le syst`eme (f(c 1),...,f(c n)). On pose F = Ker(s − Id) et G = Ker(s + Id). 5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4 Exercice 3 On considère l’application linéaire de R3 dans R3 , définie par : f(x, y, z) = (x + y + z, x – y +2z, x - 2y - z) Indication pourl’exercice3 N Faire un dessin de l’image et du noyau pour f : R R! Il est clair que est linéaire et que son noyau est la droite vectorielle engendrée par D’après la formule du rang : ce qui prouve que Autrement dit : est surjective. Indication pourl’exercice1 N Une seule application n’est pas linéaire. Le théorème du rang se reformule donc en dim E = rg f + dim(ker f ) Preuve. Ecrire la matrice D de f , puis la matrice de p et de q, dans cette nouvelle base. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F est dite linéaire (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. 1. Tu peux aussi décomposer $\varphi_k$ comme la composée de deux applications linéaires (vois-tu qu'en quelque sorte il y a "deux étapes" pour appliquer $\varphi_k$ ? Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Si G séquentiellement complet, alors L s (F,G) est séquentiellement complet. Viennent alors une suite d'algorithmes polynomiaux pour Optimiser à partir de l'oracle Séparer. Soit une s une involution de L( E), i.e. b) 2. ) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F un K-espace vectoriel quelconque et f une application linéaire de E dans F . = Id. 2. évident. Montrer que f est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de f . On appelleapplication linéairede E dans F toute applicationfde E dans F telle que i)pour tousuetvdans E, on af(u¯v) ˘f(u)¯f(v); ii)pour tousudans E et ‚ dans R, on af(‚u) ˘‚f(u). On note L(E,E) = End(E) l'ensemble des endomorphismes de E et Aut(E) l'ensemble des automorphismes de E (endomorphismes bijectifs de E). Oui, il suffit de vérifier cela. Application linéaire qui induit une base. Justifier. Une application lineaire de Edans Fest une application f:E!Ftelle que pour tous vecteurs u;v2Eet tout scalaire 2K, f(u+ v) = f(u) + f(v), f(u) = f(u). Notations: 1. Exercice X. Soit l'application f : M 3;1(R) ! Après quelques transformations, on montre que, par polarité, on peut Séparer à partir de l'oracle Optimiser. Je connais les formules : f (u+v) = f (u) + f (v) et f (l w) = l f (w) mais je ne sais pas comment les appliquer, je m emmêle les pinceaux... Merci pour votre aide Exercice 9. 6. Soit x 0 2E tel que f3(x 0) 6= 0 . Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a 1, a 2 et a 3 tels que : Appliquons f : Comme f est linéaire : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e 1), f(e 2) et f(e 3), qui sont définis dans la matrice. 3. Déterminer si des applications sont linéaires ou pas.Bonus (à 12'20'') : Description des applications linéaire de R^2 dans R^2.Exo7. Attention! Déterminer une matrice K de M2 (R) non diagonale telle que K 2 = I2 , puis une matrice Y de M3 (R) non diagonale telle que Y 2 = D. 2.8. 2) f est-elle surjective ? Scribd is the world's largest social reading and publishing site. Cette définition équivaut à la suivante i’)pour tousuetvdans E, pour tous ‚ et „dans R, on af(‚u¯„v) ˘‚f(u)¯„f(v). Par exemple pour Applications lin eaires continues Frank Pacard 2 / 9 Mais en l’occurrence, une preuve directe est facile à produire. infophile re : Application linéaire et intégrale. Véri er que dim(Ker(f))+dim(Im(f)) = dim(M 3;1(R)). La matrice suffit donc à connaître l’application f. Si F= Kon dit que fest une forme lineaire. Calculer le déterminant de A. s2 2. Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique- f est un isomorsphisme (bijective) ssi f est injective ssi f est surjective ssi rg f = n ssi il existe une application linéaire g de F dans E tel que g o f = Id_E ssi il existe une application linéaire g de F dans E tel que f o g = Id_F donc oui, il te suffit de montrer que f est injective seulement, ou … i)gest g en eratrice de F. Soit yun el ement de F. Comme f est surjective, il existe x2Etel que y= f(x). Je sais montrer qu'une application est linéaire, mais la forme de celle-ci me bloque dés le début, en prenant deux fonctions h et g C 0 ([0,1],), et , je n'arrive pas à dévelloper *h+g. 1. Mˆeme si (c 1,...,c n) est une base de E, (f(c 1),...,f(c n)) n’est pas forc´ement une base de Imf. La première équivalence est revue après avoir décrit l'algorithme LLL. Or xs’ ecrit comme une combinaison lin eaire des v i, donc, par lin earit e de f, y= f(x) s’ ecrit comme une combinaison lin eaire des f(v i). Montrer que f est une application linéaire. 1 2 1 2 2 1 0L(E) et déterminer son image et son noyau. On dit que uest linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : 8x;y2E;8 ; 2R; u( x+ y) = u(x)+ u(y): Lorsque E= F, un morphisme de Edans lui même s'appelle un endomorphisme . Si A;B sont deux ensembles, S ˆB un sous-ensemble et F : A !B une application, alors F 1(S):=fa 2A j9s 2S;F(a)=sgest appelé l’image réciproque de S par F. SiU est un intervalle ouvert de R, k 2Z 0 et f :U !Rest une fonction, alors f[k] est la dérivée d’ordre k de f. En particulier, f[0] = f et f[1] est … Exemples. … 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 Montrer que f entre 0 et 1 de f(t)dt est une application linéaire de C 0 ([0,1]),) dans et déterminer son image. Si F= E, fest appelee un endomorphisme. Et ca se prouve. Posté par . 1) Montrer que f est une application linéaire. Montrer que f est une application linéaire. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F). Alors, les propositions suivantes sont equivalentes : (i) L est continue sur E ; (ii) L est continue en 0; (iii) il existe une constante C >0 telle que kL(x)k F C kxk E; pour tout x 2E. Soit f : E → F une application lin´eaire. (Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction de f. 3) Déterminer le noyau de f. 4) Quel est le rang de f ? Voici encore un exemple où la surjectivité d’une application est établie de façon indirecte. Montrer que E = Im (f) Ker (g). (Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective. Merci! Déterminer son noyau et son image. Soit E un espace vectoriel, on note idE l’application identité. Montrer que l'application réciproque f-1 de f est aussi une application linéaire (donc un isomorphisme). E) et (F;kk F) deux espaces vectoriels norm es et L : E !F une application lin eaire. 3. On sait que L(0E)=0F. est bijective (donc est un isomorphisme d'espaces vectoriels), c'est-à-dire qu'une application k-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de F. Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que ⇥E k, kL(x 1,...,x k)k F Ckx 1k E 1....kx kk E k. Démonstration: a) 1. ) (Indication : On ouprar aisonnerr arp une oncdition néessairce et su sante) Exercice 9 Soit E un espace vectoriel de dimension 4.